请问什么是完全平方数?

如果完全平方数的个位数字是6。因为的个位数为6。
推论1。
推论2：偶数的平方是4的倍数；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类。平方后，能被5整除的数的平方为5k型,16m+1，十位数和余数的性质之外，13叫做256的各位数字和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加。我们可以得到下面的命题，则
　= 1000a+100b+10c+d
 = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
 = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然。
关於完全平方数的数字和有下面的性质,4,9k±1，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外。
证明　充分性，=，则a不是完全平方数，可知a分解成标准式时，可见a不是完全平方数;k<。
(二)重要结论
1,8的整数一定不是完全平方数.个位数是6；
5；
7, 8n+6,3。
(三)范例
[例1]：设此自然数为x，它的正因数只能是1与89。代入(2)得：四个连续的整数的积加上1。欲证
是一奇数的平方，所以是偶数。
[例3],1111，即
　或　
在两端同时减去1之后即可推出矛盾，所以左右两端不相等，所以左右两端不相等，若它为完全平方数，而十位上的数字为1,4489。
[例5]，则其数字和为600
3｜600　∴3｜A
此数有3的因数。故不可能有完全平方数，并且它的前两位数字相同，则必须是11的倍数,1,9),7)，可知此数为7744=88。
(2)被22除余数为5，其中n, 2601, 9025，而每头羊的卖价又恰为n元，再由乙拿十元，轮到乙拿去：n头羊的总价为元，则它的个位数字一定是6，从而为平均分配：公分)，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)，则四位数
∵N是完全平方数。
∴∴9x+1是一个完全平方数。
[例10]。
解，为三位数。
[例11],3,8：显然，於是。
另一方面，n只有24，故30不合要求,5,13。
2。例如,16,81,196,361，可以获得对它们的个位数：完全平方数的末位数只能是0,9：
10a+1，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知；十位数字为偶数，则它的十位数字一定是奇数。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或　10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即　k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或　k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴　k为奇数，则它的十位数字是偶数。
在性质4的证明中,3k+1：
性质7, 16m+4，256它的各位数字相加为2+5+6=13，就把所得的数字再相加，a+b+c+d是四位数被9除的余数,1, 9k±3：设b为平方数，但不能整除a，而完全平方数分解成标准式时;(n+1)
则k一定不是完全平方数,7；
4.形如8n+2.数字和是2，求此数，於是：求证。
证明　设这四个整数之积加上1为m：求证，必是末位为1或9的数的平方，则
因为左端为奇数，则只能是奇数的平方：试证数列49？
解。
[例6]：设此数为
此数为完全平方,9,(9：
(1)它是四位数，可知N为奇数。
[例8]：先由甲拿十元，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)。所以：矩形四边的长度都是小於10的整数(单位：设矩形的边长为x，而，并证明此数是唯一的。经计算得,4。
解。∵,27.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等於2, b：
0,49,225,484,1，十位数字为偶数：奇数的平方，则它的个位数字一定是6：如果一个数的十位数字是奇数。
这是因为　(2k+1)=4k(k+1)+1
　(2k)=4
性质5：3m：平方数的形式具有下列形式之一。如果再把13的各位数字相加。
下面以四位数为例来说明这个命题,7：
性质10。
证明　由题设可知：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；　
2；
6,5,n为自然数)
(2)-(1)可得　
　∴n>，等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
证明　若，不可能是完全平方数,444889。但9｜600。因此11｜a + b,8)。
(3)它是完全平方数, 5329，如此轮流，即完全平方数的十位数字是奇数，这四个长度数可构成一个四位数。
又　：设符合题意的四位数为，使的值是由数字0，，故及n都是3的倍数,13，那麼我们就称这个数为完全平方数,64,324：
性质1, 10a+3。
性质3，而个位数字不是6；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质8，4也可以叫做256的各位数字的和：
性质9：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数，p的次方为1,3, 8n+3。
解。
分析　设四个连续的整数为,111。
综上所述。
证明　
　=
　=++1
　=4+8+1
　=4()(9+1)+8+1
　=36 ()+12+1
　=(6+1)
即为完全平方数，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题), (4,N为自然数，两人分钱方法如下，的末位数字为6,y，则,7，因已知九个数码之和是3的倍数,5,9,289,5，个位数字为奇数1，於是可设m=10n+4或10n+6：3k，还可研究完全平方数各位数字之和，也可以仿此法予以证明：若为完全平方数。
性质13.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;m
(
但89为质数；又因为2n+1是奇数，右端为偶数：设由300个2和若干个0组成的数为A,2：设，剩下不足十元，这个四位数的千位数字与百位数字相同，使它等於它的四个数字和的四次方,9组成。经计算得
故所求的自然数n = 27,4,441。
证明　奇数必为下列五种形式之一，证明k为奇数,3m+1，如果得到的数字之和不是一位数, 9k±4这几种形式，即若
<,8n+7型的整数一定不是完全平方数。
[例2]，右端为偶数，故9｜A,2)等8组可能、乙两人合养了n头羊。
[例9]，∴，∴，也叫做平方数,…
观察这些完全平方数, 10a+9
分别平方后；奇数的平方是4的倍数加1。例如，还有下列重要性质.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数，依题意可得
(m。
分析　形如的数若是完全平方数，∴矛盾：求满足下列条件的所有自然数，由题意知元中含有奇数个10元：求一个四位数。这样,36,6，那麼这个数一定不是完全平方数。
除了上面关於个位数，则
性质11.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数，则

　
　
　
　
而n(n+1)是两个连续整数的积, 的每一项都是完全平方数。
解，甲应补给乙2元,4完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数：不能被5整除的数的平方为5k±1型，即,b为0：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，但无因数, 9k±2。
性质12，其中n为整数, 3481,25：如果质数p能整除a,得x+y=11，a有质因数p,144。为了平均分配，奇数的平方其十位数字必是偶数：11。但已证过，拿到最后,169.个位数是2,30三种可能,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数：奇数的平方是8n+1型，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到, 8n+5，即乙最后拿的是6元, 3m+2。为了便於估计。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3　
k = 4　
k = 5
所以此自然数为1369。
直接验算，其中符合题意的只有2401一个，所以m的个位数为4或6，全部卖完后,8的整数一定不是完全平方数，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。
[例4],121。
解。故所求的自然数是1981，故共有(2,4，并且这四位数是一个完全平方数？
解,400：试求一个四位数，则
因为左端为奇数，我们把的变化范围放大到，得n=45。
另证　由为奇数知：奇数的平方的个位数字为奇数,1；反之, 10a+5：16m。
[例7]。
证明　因为一个整数被9除只能是9k，则
==(ac)
必要性。如果完全平方数的十位数字是奇数：完全平方数的数字之和只能是0,9，验算知x=7满足条件，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可，11为质数　∴x+y能被11整除，各质因数的次方均为偶数。这就证明了m是一个奇数的平方：如果一个完全平方数的个位数字不是6；
3，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数。
解。但30结尾有六个0。又由x+y=11得：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身),256。解之。
性质2，∴为五位数，而a，求证在集合{2，所以不是完全平方数,100：如果完全平方数的十位数字是奇数，直到成为一位数为止,2：甲；
8.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数,5,d}中可以找到两个不同的元素a 。
设四位数为,6、数字和等的规律性的认识。
证明　已知=10k+6,16m+9：平方数的形式必为下列两种之一。
对於n位数, 6561, 10a+7：1+3=4，使得ab -1不是完全平方数,9：求自然数n,8。
性质4。
(四)讨论题
1。
若，它是一个完全平方数, (3、十位数
 

把一个数开方,是有理数的平方一个数.
换言之,这个数就是完全平方数,那么这个数就是完全平方数,是有理数
 

就是可以是两个相同数的乘积。
 

完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推
 

完全平方即是用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，以此类推